В учебниках арифметики за 5-ый класс много теории, детки к такому еще не привыкли, ну и родителям трудно ориентироваться в толстом учебнике при проверке домашнего задания. Уже с самого начала учебника арифметики создателя Мерзляк, Полонский, Якир, за 5 класс, повторяем и систематизируем понятия из исходной школы, вводим новейшие правила и характеристики. Учителя нередко задают выучить правила и ворачиваются к пройденному опять и опять. Детям и родителям часто неловко искать издавна пройденное в учебнике, а детки запамятывают материал и, естественно же, запамятывают, в которой теме учили необходимое правило и на какой страничке. Для вас в помощь — все правила и определения из этого учебника.
По мере углубления в программку будем добавлять и теорию. Пишите в комментах, какую тему проходите.
В учебниках арифметики за 5-ый класс много теории, детки к такому еще не привыкли, ну и родителям трудно ориентироваться в толстом учебнике при проверке домашнего задания. Уже с самого начала учебника арифметики создателя Мерзляк, Полонский, Якир, за 5 класс, повторяем и систематизируем понятия из исходной школы, вводим новейшие правила и характеристики. Учителя нередко задают выучить правила и ворачиваются к пройденному опять и опять. Детям и родителям часто неловко искать издавна пройденное в учебнике, а детки запамятывают материал и, естественно же, запамятывают, в которой теме учили необходимое правило и на какой страничке. Для вас в помощь — все правила и определения из этого учебника.
По мере углубления в программку будем добавлять и теорию. Пишите в комментах, какую тему проходите.
Раздел 1 Глава 1
Раздел I. Натуральные числа и деяния над ними
Глава 1. Натуральные числа
§ 1. Ряд натуральных чисел
! Числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 и т.д., применяемые при счете предметов, именуют натуральными.
Все натуральные числа, записанные в порядке возрастания, образуют ряд натуральных чисел (либо натуральный ряд). Первым числом натурального ряда является единица. В натуральном ряду за каждым числом следует очередное число, большее предшествующего на единицу. Большего числа нет, потому при записи натурального ряда опосля перечисления нескольких чисел ставят многоточие.
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…
§ 2. Числа. Десятичная запись натуральных чисел
Натуральные числа записывают при помощи особых символов — цифр. Их 10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Натуральные числа, записанные одной цифрой именуют конкретными, 2-мя — двузначными, 3-мя — трехзначными и т.д. Все числа, не считая конкретных, именуют неоднозначными. Неоднозначное число может начинаться с хоть какой числа, не считая 0.
Чтоб прочесть неоднозначное число, числа его записи разбивают справа влево по 3. Эти группы именуют классами. При чтении неоднозначного числа число, записанное в любом классе, читают как 3-х,2-х либо 1-значное, добавляя заглавие класса. Заглавие класса единиц не произносят.
Любой класс разбивается справа влево на 3 разряда: единицы, 10-ки, сотки.
Набросок 1
Запись натуральных чисел, которой мы пользуемся, именуют десятичной, поэтому что 10 единиц всякого разряда составляют одну единицу последующего разряда.
§ 3. Отрезок. Длина отрезка
Если отлично заточенным карандашом прикоснуться к листу тетради, получится точка.
Если 2 точки соединить прямой линией, получится отрезок. Последние его точки именуют концами отрезка. Существует единственный отрезок, концами которого являются эти точки. Отрезок обозначают, указывая в любом порядке точки, которые являются его концами. Расстояние меж этими точками — это длина отрезка.
Точка и отрезок — геометрические фигуры.
За единичный отрезок можно принять 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км и подобные единицы длины.
Измерить отрезок значит подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается.
! Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отреза АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ.
Пишут: АВ = АС + СВ
! Два отрезка именуют равными, если они совпадают при наложении.
Пишут: АВ = СД
Равные отрезки имеют равные длины.
Набросок 2. Равные отрезки, незамкнутая ломаная, замкнутая ломаная.
Длину отрезка АВ именуют расстоянием меж точками А и В.
Если несколько отрезков поочередно соединить вместе, получится ломаная. Концы отрезков при всем этом станут верхушками ломаной, при всем этом последние из их — это концы ломаной, а отрезки, составляющие ломаную — ее звенья.
Длиной ломаной именуют сумму длин всех ее звеньев.
Ломаные, концы которых совпадают, именуют замкнутыми.
§ 4. Плоскость. Ровная. Луч
Представьте большой тетрадный лист размером с футбольное поле. Конкретно так смотрится модель части плоскости. Плоскость нескончаема, ее нереально изобразить полностью.
Если отрезок на плоскости продлить по линейке в обе стороны неограниченно, получится ровная. Ровная не имеет концов. Она нескончаема. Потому на рисунке мы изображаем лишь часть прямой.
! Через две точки проходит лишь одна ровная.
Прямую обозначают, называя две любые ее точки в любом порядке, или одной малеханькой латинской буковкой.
Пример: ровная АВ, ровная m, ровная n
Набросок 3
Если поделить прямую на 2 части, обозначив на ней точку О, мы получим 2 луча с началом в точке О. Конца у луча нет.
Луч обозначают 2-мя строчными знаками, первой записывают начало луча, а 2-ой буковку хоть какой иной точки на луче.
Пример: луч ОА, луч ОВ.
Набросок 4
Ровная и луч — геометрические фигуры.
§ 5. Шкала. Координатный луч
Пример шкалы с ценой деления 1 мм вы сможете узреть на линейке.
Если на луче на право от точки О отложить равные отрезки и обозначить их концы знаками и цифрами от 0 до бесконечности с шагом 1, получим координатный луч. Точка О изображает число 0. О — начало отсчета. Отрезок от точки до точки — единичный отрезок.
Число под буковкой является координатой данной нам точки.
Пример: число 2 является координатой точки М, записываем: М(2).
Набросок 5
§ 6. Сопоставление натуральных чисел
Сопоставить два разных натуральных числа — это означает найти, какое из их больше, а какое меньше. Из 2-ух натуральных чисел наименьшее то, которое в натуральном ряду стоит ранее, а большее — то, которое стоит позднее. Записи со знаками <,> именуют неравенствами.
Число 0 меньше хоть какого натурального числа.
Когда записываю сопоставление 3-х чисел, такую запись именуют двойным неравенством.
! Из 2-ух натуральных чисел, имеющих различное количество цифр, бОльшим будет то, у которого количество цифр больше.
! Из 2-ух натуральных чисел с схожим количеством цифр бОльшим будет то, у которого больше 1-ая (при чтении слева вправо) из неодинаковых цифр.
На координатном луче точка с наименьшей координатой размещена левее точки с большей координатой. На координатном луче из 2-ух натуральных чисел наименьшее число размещено левее большего.
Глава 2
Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел
§ 7. Сложение натуральных чисел. Характеристики сложения
В равенстве a + b = c числа a и b именуют слагаемыми, число с и запись a + b — суммой.
! Переместительное свойство сложения:
От перестановки слагаемых сумма не изменяется.
a + b = b + a
! Сочетательное свойство сложения:
Чтоб к сумме 2-ух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
(a + b) + c = a + (b + c)
При сложении нескольких чисел слагаемые можно поменять местами и заключать их в скобки, тем определяя порядок вычислений.
! Особенное свойство 0 при сложении:
если одно из 2-ух слагаемых равно 0, то сумма равна другому слагаемому.
а + 0 = а
§ 8. Вычитание натуральных чисел
В равенстве a — b = c число a именуют уменьшаемым, число b вычитаемым, число с и запись a — b — разностью.
Разность a — b указывает, на сколько число а больше числа b либо на сколько число b меньше числа а.
! Особенные характеристики нуля при вычитании:
Если вычитаемое равно нулю, то разность равна уменьшаемому.
а — 0 = а
Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность равна нулю.
а — а = 0
! Правило вычитания суммы из числа:
Чтоб из числа отнять сумму 2-ух слагаемых, можно из этого числа отнять одно из слагаемых и позже из результата отнять другое слагаемое.
а — (b + c) = (а — b) — c
! Правило вычитания числа из суммы:
Чтоб из суммы 2-ух слагаемых отнять число, можно отнять это число из 1-го из слагаемых (если это слагаемое больше либо равно вычитаемому) и позже к результату прибавить другое слагаемое.
(а + b) — c = (а — c) + b = (b — с) + а при b ⩾ a, с ⩾ a
§ 9. Числовые и буквенные выражения. Формулы
Числовое выражение записывается лишь при помощи цифр, символов действий и скобок, и его значение можно вычислить.
Если в записи участвуют к тому же буковкы, это буквенное выражение.
Обычно, в буквенных выражениях символ умножения пишут лишь меж числами. В других вариантах его опускают.
Из 1-го буквенного выражения можно получить нескончаемо много числовых выражений.
Буквенное выражение, по которому можно вычислить какие-либо принятые величины (периметр, площадь, путь, скорость и так дальше) именуют формулами.
s = vt — формула пути, где s — пройденный путь, v — скорость движения, t — время, за которое пройден путь s.
§ 10. Уравнение
Если в задачке разыскиваемое число обозначить буковкой, например x, а остальное записать числами, скобками и знаками действий, получим уравнение.
! Корнем уравнения именуют число, которое при подстановке заместо буковкы направляет уравнение в верное числовое равенство.
Корень уравнения именуют решением уравнения. Уравнение не непременно имеет один корень (одно решение).
! Решить уравнение — означает отыскать все его корешки либо убедиться, что их совершенно нет.
Правила нахождения неведомого слагаемого. Чтоб отыскать неведомое слагаемое, нужно из суммы отнять известное слагаемое.
Правила нахождения неведомого уменьшаемого. Чтоб отыскать неведомое уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Правила нахождения неведомого вычитаемого. Чтоб отыскать неведомое вычитаемое, нужно из уменьшаемого отнять разность.
§ 11. Угол. Обозначение углов
! Фигуру, образованную 2-мя лучами, имеющими общее начало, именуют углом.
Эти лучи именуют сторонами угла, а их общее начало — верхушкой угла. Угол обозначают 3-мя знаками, на втором месте непременно пишут буковку верхушки угла. Можно обозначать угол одной буковкой, соответственной верхушке, если она принадлежит лишь одному углу.
! Два угла именуют равными, если они совпадают при наложении.
Пример: ∠MON = ∠NOP
Набросок 6
Луч, который разделяет угол на 2 равных угла, именуют биссектрисой угла.
§ 12. Виды углов. Измерение углов
! Угол, стороны которого образуют прямую, именуют развернутым.
Измерить угол — означает подсчитать, сколько единичных углов (по 1 градусу) в нем помещается.
Величина, либо градусная мера развернутого угла равна 180 градусов. Можно сказать и так: развернутый угол равен 180°.
Для измерения углов употребляют транспортир. Его шкала содержит 180 делений.
Равные углы имеют равные градусные меры. Из 2-ух неравных углов бОльшим будем считать тот, градусная мера которого больше.
! Если меж сторонами угла АВС провести луч ВD, то градусная мера угла АВС равна сумме градусных мер углов АВD и DВС.
∠АВС = ∠АВD + ∠DВС
Набросок 7
! Угол, градусная мера которого меньше 90°, именуют острым
! Угол, градусная мера которого больше 90°, именуют прямым.
! Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, именуют тупым.
Биссектриса развернутого угла разделяет его на 2 угла, градусная мера всякого из которых равна 90°, другими словами на 2 прямых угла.
§ 13. Многоугольники. Равные фигуры
Замкнутую фигуру, состоящую из 4 непересекающихся звеньев ломаной, именуют четырехугольником.
Замкнутую фигуру, состоящую из нескольких непересекающихся звеньев ломаной, именуют многоугольником.
Любой многоугольник имеет верхушки и стороны. Верхушки сразу являются углами. Многоугольник именуют и обозначают по его верхушкам, поочередно записывая каждую, начиная с хоть какой.
Сумму длин всех сторон много угольника именуют его периметром.
! Два многоугольника именуют равными, если они совпадают при наложении.
! Две фигуры именуют равными, если они совпадают при наложении.
§ 14. Треугольник и его виды
Из всех многоугольников треугольники имеют меньшее количество углов и сторон. Треугольники можно различать (систематизировать) по виду их углов.
! Если все углы треугольника острые, то его именуют остроугольным треугольником.
! Если один из углов треугольника прямой, то его именуют прямоугольным треугольником.
! Если один из углов треугольника тупой, то его именуют тупоугольным треугольником.
Треугольники можно систематизировать и по количеству равных сторон.
! Если две стороны треугольника равны, то его именуют равнобедренным треугольником.
Равные стороны равнобедренного треугольника именуют боковыми сторонами, а оставшуюся сторону — основанием.
! Если три стороны треугольника равны, то его именуют равносторонним треугольником.
Если сторона равностороннего треугольника равна а, то его периметр вычисляют по формуле Р = 3а
! Треугольник, у которого три стороны имеют различную длину, именуют многосторонним треугольником.
§ 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры
! Если в четырехугольнике все углы прямые, то его именуют прямоугольником.
Стороны, которые имеют общую верхушку, именуют примыкающими. Примыкающие стороны прямоугольника именуют его длиной и шириной.
Стороны прямоугольника, не имеющие общих вершин, именуют противолежащие.
! Противолежащие стороны прямоугольника равны.
Если длина прямоугольника равна а, а ширина — b, то его периметр вычисляют по формуле Р = 2а + 2b
Прямоугольник, у которого все стороны равны, именуют квадратом.
В прямоугольнике можно провести линию через середины противолежащих сторон. Эта линия разделяет фигуру на 2 равные части и именуется ось симметрии, а фигура — симметричной относительно оси симметрии.
Ось симметрии имеет и равнобедренный треугольник.
У симметричной фигуры быть может наиболее одной оси симметрии.
Набросок 8
Глава 3
Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел
§ 16. Умножение. Переместительное свойство умножения
В равенстве a * b = c числа a и b именуют множителями, а число c и запись a * b − произведением.
$$ a * b = underbrace{a + a + a + … + a}_{b-слагаемых} $$
Произведением числа a на натуральное число b, не равное 1, именуют сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно a.
А если b = 1? Тогда придется разглядывать сумму, состоящую из 1-го слагаемого. А это в арифметике не принято. Потому условились, что: a * 1 = a. Если b = 0, то договрились считать, что: a * 0 = 0. А именно, 0 * 0 = 0.
Разглядим произведения 1 * a и 0 * a, где a − натуральное число, хорошее от 1. Имеем:
$$ 1 * a = underbrace{1 + 1 + 1 + … + 1}_{a-слагаемых} = a, $$
$$ 0 * a = underbrace{0 + 0 + 0 + … + 0}_{a-слагаемых} = 0. $$
! Если один из 2-ух множителей равен 1, то произведение равно другому множителю:
a * 1 = 1 * a = a
! Если один из 2-ух множителей равен нулю, то произведение равно нулю:
a * 0 = 0 * a = 0
Произведение 2-ух чисел, хороших от нуля, нулем быть не может. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
! Переместительное свойство умножения:
От перестановки множителей произведение не изменяется.
ab = ba
§ 17. Сочетательное и распределительное характеристики умножения
! Сочетательное свойство умножения.
Чтоб произведение 2-ух чисел помножить на третье число, можно 1-ое число помножить на произведение второго и третьего чисел.
(ab)c = a(bc)
Из переместительного и сочетательно параметров умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно поменять местами и заключать в скобки, тем определяя порядок вычислений. К примеру, верны равенства: abc = cba, а * b * c * d = (b * d) * (a * c).
! Распределительное свойство умножения относительно сложения.
Чтоб число помножить на сумму 2-ух чисел, можно это число помножить на каждое слагаемое и приобретенные произведения сложить.
a(b + c) = ab + ac
Из распределительного характеристики умножения относительно сложения следует, что ab + ac = a(b + c).
Это равенство дозволяет формулу P = 2a + 2b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:
P = 2(a + b).
Заметим, что распределительное свойство справедливо для 3-х и наиболее слагаемых. К примеру:
a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.
Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c либо b = c, то
a(b − c) = ab − ac
Преобразование выражения со скобками в выражение без скобок при помощи параметров умножения, вычитания, сложения и деления, именуют раскрытием скобок.
§ 18. Деление
Действие деления определяют при помощи деяния умножения.
Для натуральных чисел a, b и c равенство a : b = c правильно, если правильно равенство b * c = a.
В равенстве a : b = c число a именуют делимым, число b − делителем, число c и запись a : b − личным.
Личное a : b указывает, во сколько раз число a больше числа b либо во сколько раз число b меньше числа a.
! На нуль разделять недозволено.
Вкупе с тем так как a * 0 = 0, то для хоть какого натурального числа a правильно равенство:
0 : a = 0
Также для хоть какого натурального числа a верны равенства:
a : a = 1,
a : 1 = a.
Эти равенства просто проверить при помощи умножения.
Правило нахождения неведомого множителя:
чтоб отыскать неведомый множитель, нужно произведение поделить на узнаваемый множитель.
Правило нахождения неведомого делимого:
чтоб отыскать неведомое делимое, нужно делитель помножить на личное.
Правило нахождения неведомого делителя:
чтоб отыскать неведомый делитель, нужно делимое поделить на личное.
§ 19. Деление с остатком
Наибольшее число, произведение которого на делитель меньше делимого именуют неполным личным, а оставшееся число − остатком.
! Остаток постоянно меньше делителя.
Чтоб отыскать делимое, нужно делитель помножить на неполное личное и прибавить остаток.
a = bq + r
где a − делимое, b − делитель, q − неполное личное, r − остаток, r < b.
Если остаток равен 0, можно сказать, что число делится нацело.
§ 20. Степень числа
Произведение, в каком все множители равны, можно записать степенью. К примеру, 7 * 7 * 7 * 7 = 74. Выражение 74 именуют степенью и читают: «семь в четвертой степени» либо «4-ая степень числа семь». При всем этом число 7 именуют основанием степени, а число 4 − показателем степени. Число 4 указывает, сколько множителей, любой из которых равен 7, содержит произведение.
Вторую степень числа именуют квадратом числа. К примеру, запись a2 читают «a в квадрате». Третью степень числа именуют кубом числа, и запись a3 читают «a в кубе».
Так как не принято разглядывать произведение, состоящее из 1-го множителя, то условились, что a1 = a.
Возведение числа в степень − это 5-ое арифметическое действие. Определим очередность его выполнения при нахождении значения числового выражения.
Если в числовое выражение заходит степень, то поначалу делают возведение в степень, а позже − другие деяния.
§ 21. Площадь. Площадь прямоугольника
Если фигуры не совпадают при наложении, но состоят из схожего количества фигур наименьшего размера, то молвят, что их площади равны.
! Характеристики площади фигуры.
1) Равные фигуры имеют равные площади.
2) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.
Как можно измерить площадь фигуры?
Для измерения отрезков мы вводили единичный отрезок, а для измерения углов − единичный угол. Совершенно, когда необходимо измерить какую−или величину, вводят единицу измерения. За единицу измерения площади выбираю квадрат, сторона которого равна единичному отрезку. Таковой квадрат именуют единичным.
Площадь квадрата со стороной 1 м именуют квадратным метром. Пишут: 1 м2.
Площадь квадрата со стороной 1 см именуют квадратным сантиметром. Пишут: 1 см2.
Площадь квадрата со стороной 1 мм именуют квадратным миллиметром. Пишут: 1 мм2.
! Измерить площадь фигуры − означает подсчитать, сколько единичных квадратов в ней помещается.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его примыкающих сторон:
S = ab
где S − площадь, a и b − длины примыкающих сторон прямоугольника, выраженные в одних и тех же единицах.
Так как у квадрата все стороны равны, то его площадь вычисляют по формуле:
S = a2
где a − длина стороны квадрата. Конкретно потому вторую степень числа именуют квадратом числа.
Вы понимаете, что равные фигуры имеют равные площади. Но если площади фигур равны, то не непременно будут равными сами фигуры.
Для измерения площади земляных участков употребляют разные единицы измерения. К примеру: ар, гектар.
1 а = 10 м * 10 м = 100 м2,
1 а = 10 м * 10 м = 10000 м2.
В быту 1 ар именуют соткой.
§ 22. Прямоугольный параллелепипед. Пирамида
Форму прямоугольного параллелепипеда имеют, к примеру, коробка конфет, кирпич, спичечный коробок.
Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями. Любая грань − это прямоугольник, т.е. поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников.
Стороны граней именуют ребрами прямоугольного параллелепипеда, верхушки граней − верхушками прямоугольного параллелепипеда.
Набросок 9
К примеру, отрезки AB, BC, A1B1 − ребра, а точки B, A1, C1 − верхушки параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 .
У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер.
Грани AA1B1B и DD1C1C не имеют общих вершин. Такие грани именуют противолежащими. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 еще есть две пары противолежащих граней: прямоугольники ABCD и A1B1C1D1, также прямоугольники AA1D1D и BB1C1C.
Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.
Грань ABCD именуют основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Площадью поверхности параллелепипеда именуют сумму площадей всех его граней.
Чтоб иметь представление о размерах прямоугольного параллелепипеда, довольно разглядеть любые три ребра, имеющие общую верхушку. Длины этих ребер именуют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Чтоб их различать, пользуются наименованиями: длина, ширина, высота.
Набросок 10
Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, именуют кубом. Поверхность куба состоит из 6 равных квадратов.
Если коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, открыть и разрезать по четырем вертикальным ребрам, а потом развернуть, то получим фигуру, состоящую из 6 прямоугольников. Эту фигуру именуют разверткой прямоугольного параллелепипеда.
Набросок 11. Развертка прямоугольного параллелепипеда.
Фигура, состоящая из 6 равных квадратов — развертка куба.
При помощи развертки можно сделать модель прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед является видом полиэдра − фигуры, поверхность которой состоит из многоугольников. Одним из видов полиэдра является пирамида.
Набросок 11. Полиэдры
Поверхность пирамиды состоит из боковых граней − треугольников, имеющих общую верхушку, и основания. Общую верхушку боковых граней именуют ребрами основания пирамиды, а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, − боковыми ребрами пирамиды.
Набросок 13. Пирамиды. Развертки пирамид
Пирамиды можно систематизировать по количеству сторон основания: треугольная, четырехугольная, пятиугольная и т.д.
Поверхность треугольной пирамиды состоит из 4 треугольников. Хоть какой из этих треугольников может служить основанием пирамиды. Это вид пирамиды, неважно какая грань которой может служить ее основанием.
Фигура, которая может служить разверткой четырехугольной пирамиды, состоит из квадрата и 4 равных равнобедренных треугольников.
Фигура, состоящая из 4 равных равносторонних треугольников — развертка треугольной пирамиды, у которой все грани − равносторонние треугольники.
Полиэдры являются примерами геометрических тел.
§ 23. Объём прямоугольного параллелепипеда
Если фигуры состоят из равного количества схожих кубиков, о таковых фигурах можно сказать, что их объемы равны. Однообразные емкости имеют равные объемы. К примеру, однообразные бочки имеют равные объемы.
Если емкость поделить на несколько частей, то размер всей емкости равен сумме размеров ее частей.
! Характеристики размера фигуры.
1) Равные фигуры имеют равные объемы.
2) Размер фигуры равен сумме размеров фигур, из которых она состоит.
Как и в вариантах с иными величинами (длина, площадь), следует ввести единицу измерения размера. За единицу измерения размера выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Таковой куб именуют единичным.
Размер куба с ребром 1 мм называю кубическим миллиметром. Пишут 1 мм3.
Размер куба с ребром 1 см называю кубическим сантиметром. Пишут 1 см3.
Размер куба с ребром 1 мм называю кубическим дециметром. Пишут 1 дм3.
При измерении размеров жидкостей и газов 1 дм3 именуют литром. Пишут: 1 л. Итак, 1 л = 1 дм3.
Измерить размер фигуры − означает подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается.
Размер прямоугольного параллелепипеда равен произведению 3-х его измерений.
V = abc
где V − размер, a, b, и c − измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.
Так как у куба все ребра равны, то его размер вычисляют по формуле:
V = a3
где a − длина ребра куба. Конкретно потому третью степень числа именуют кубом числа.
Произведение длины a и ширины b прямоугольного параллелепипеда равно площади S его основания: S = ab (рис. 177). Обозначим высоту прямоугольного параллелепипеда буковкой h. Тогда размер V прямоугольного параллелепипеда равен V = abh.
Отсюда
V = abh = (ab)h = Sh.
Итак, мы получили еще одну формулу для вычисления размера прямоугольного параллелепипеда:
V = Sh
Размер прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Пример. Какой обязана быть высота бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, чтоб его размер составлял 324 дм3, а площадь дна − 54 дм2?
Решение. Из формулы V = Sh следует, что h = V : S. Тогда разыскиваемую высоту h бака можно вычислить так:
h = 324 : 54 = 6 (дм).
Ответ: 6 дм.
§ 24. Комбинаторные задачки
Задачки, решение которых просит рассмотрения и подсчета всех вероятных композиций, именуют комбинаторными.
При решении комбинаторных задач принципиально разглядеть (перебрать) все случаи. Схема с вероятными вариациями припоминает перевернутое дерево, потому ее именуют деревом вероятных вариантов.
Раздел 2 Глава 4
Раздел II. Дробные числа и деяния над ними
Глава 4. Простые дроби
§ 25. Понятие обычной дроби
Дробные числа появляются, когда один предмет (яблоко, арбуз, тортик, буханку хлеба, лист бумаги) либо единицу измерения (метр, час, килограмм, градус) делят на несколько равных частей. Половина, четверть, третья часть, одна сотая, полтора − это примеры дробных чисел.
Записи вида
$frac{1}{2}$; $frac{1}{4}$; $frac{1}{3}$; $frac{3}{10}$; $frac{17}{24}$ и т.п. именуют обычными дробями либо короче − дробями.
Простые дроби записывают при помощи 2-ух натуральных чисел и черты дроби.
Число, записанное над чертой, именуют числителем дроби; число, записанное под чертой, именуют знаменатель дроби.
Знаменатель дроби указывает, на сколько равных частей разделили нечто целое, а числитель − сколько таковых частей взяли.
§ 26. Правильные и некорректные дроби. Сопоставление дробей
Если числитель дроби равен знаменателю, то дробь равна единице.
$frac{m}{m}$ = 1 , где m − натурально число.
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, именуют правильной.
Дробь, у которой числитель больше знаменателя либо равен ему, именуют неверной.
$frac{1}{2}$, $frac{7}{12}$, $frac{17}{584}$ − правильные дроби.
$frac{7}{5}$, $frac{3}{3}$, $frac{31}{15}$ − некорректные дроби.
! Характеристики дробей.
Из 2-ух дробей с схожими знаменателями больше та, у которой числитель больше, а меньше та, у которой числитель меньше.
Все правильные дроби меньше единицы, а некорректные − больше либо равны единице.
Это свойство дозволяет создать последующий вывод. Любая некорректная дробь больше хоть какой правильной дроби, а любая верная дробь меньше хоть какой неверной дроби.
На координатном луче из 2-ух дробей большая дробь размещена правее наименьшей.
Из 2-ух дробей с схожими числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
§ 27. Сложение и вычитание дробей с схожими знаменателями
Чтоб сложить две дроби с схожими знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель бросить прежним.
$frac{a}{c}$ + $frac{b}{c}$ = $frac{a + b}{c}$
Чтоб отнять дроби с схожими знаменателями, необходимо из числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого, а знаменатель бросить прежним.
$frac{a}{c}$ − $frac{b}{c}$ = $frac{a — b}{c}$
§ 28. Дроби и деление натуральных чисел
Черту дроби можно разглядывать как символ деления, а запись
$frac{a}{b}$ читать «a поделить на b».
Итог деления 2-ух натуральных чисел быть может натуральным либо дробным числом.
Хоть какое натуральное число можно записать в виде дроби с хоть каким знаменателем.
§ 29. Смешанные числа
Число $2frac{5}{7}$ именуют смешанным числом. В смешанном числе $2frac{5}{7}$ натуральное число 2 именуют целой частью смешанного числа, а дробь $frac{5}{7}$ − его дробной частью.
Дробная часть смешанного числа − это верная дробь.
Вот еще примеры смешанных чисел:
$4frac{1}{5}$, $1frac{3}{10}$, $9frac{5}{8}$.
Отметим, что, к примеру, числа:
$5frac{7}{3}$, $1frac{11}{10}$, $3frac{7}{7}$ смешанными не являются, так как дроби $frac{7}{3}$, $frac{11}{10}$, $frac{7}{7}$ не являются правильными.
Научимся записывать некорректную дробь в виде смешанного числа, т.е. выделять (отыскивать) его целую и дробные части.
Разглядим, к примеру число
$frac{22}{5}$. Имеем: $frac{22}{5}$ = $frac{20 + 2}{5}$ = $frac{20}{5}$ + $frac{2}{5}$ = $4$ + $frac{2}{5}$ = $4frac{2}{5}$. Как выяснить, что число 22 следует представить конкретно так: 22 = 20 + 2?
Если выполнить деление с остатком числа 22 на число 5, то получим 22 = 4 * 5 + 2, где число 4 − неполное личное, число 2 − остаток, т.е. 22 = 20 + 2.
Заметим, что число 4 и есть целая часть смешанного числа, а число 2 − числитель его дробной части.
Чтоб некорректную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, конвертировать в смешанное число, нужно числитель поделить на знаменатель; приобретенное неполное личное записать как целую часть смешанного числа, а остаток − как числитель его дробной части.
Всякую некорректную дробь, у которой числитель нацело делится на знаменатель, можно представить в виде смешанного числа.
Если числитель неверной дроби делится нацело на знаменатель, то эта дробь равна натуральному числу. К примеру:
$frac{28}{7}$ = $4$, $frac{63}{9}$ = $7$, $frac{17}{17}$ = $1$.
Чтоб конвертировать смешанное число в некорректную дробь, нужно целую часть числа помножить на знаменатель дробной части и к приобретенному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неверной дроби, а в ее знаменатель записать знаменатель дробной части смешанного числа.
К примеру:
$5frac{4}{9}$ = $frac{5 * 9 + 4}{9}$ = $frac{49}{9}$.
Отметим, что характеристики сложения натуральных чисел производятся и для дробных чисел:
a + b = b + a − переместительное свойство сложения,
(a + b) + c = a + (b + c) − сочетательное свойство сложения.
Воспользовавшись этими качествами, найдем сумму
$4frac{2}{7}$ + $2frac{3}{7}$.
Имеем:
$4frac{2}{7}$ + $2frac{3}{7}$ = ($4$ + $frac{2}{7}$) + ($2$ + $frac{3}{7}$) = (4 + 2) + ($frac{2}{7}$ + $frac{3}{7}$) = 6 + $frac{5}{7}$ = $6frac{5}{7}$.
Чтоб сложить два смешанных числа, нужно раздельно сложить их целые и дробные части.
Пример. Сделайте сложение
$3frac{4}{9}$ + $5frac{7}{9}$.
Решение. Имеем:
$3frac{4}{9}$ + $5frac{7}{9}$ = $8frac{11}{9}$ = 8 + $frac{11}{9}$ = 8 + $1frac{2}{9}$ = $9frac{2}{9}$.
Научимся вычитать смешанные числа, дробные части которых имеют равные знаменатели. Если дробная часть уменьшаемого больше либо равна дробной части вычитаемого, то можно пользоваться последующим правилом.
Чтоб отыскать разность 2-ух смешанных чисел, нужно из целой и дробной частей уменьшаемого отнять соответственно целую и дробную части вычитаемого.
К примеру:
$8frac{19}{20}$ − $6frac{12}{20}$ = (8 − 6) + ($frac{19}{20}$ − $frac{12}{20}$) = 2 + $frac{7}{20}$ = $2frac{7}{20}$.
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, приведенным правилом пользоваться недозволено. «Подготовим» уменьшаемое к вычитанию так: возьмем из вычитаемого целую единицу, представленную в виде дроби с схожим числителем и знаменателем, и добавим ее в дробную часть.
Пример: $5frac{4}{13}$ = 5 + $frac{4}{13}$ = (4 + 1) + $frac{4}{13}$ = 4 + ($frac{13}{13}$ + $frac{4}{13}$) = $4frac{17}{13}$.
Глава 5
Глава 5. Десятичные дроби
§ 30. Представление о десятичных дробях
Для дробей, у каких знаменатели равны 10, 100, 1000 и т.д., выдумали наиболее комфортную, «одноэтажную» форму записи:
К примеру, $frac{7}{10}$ = 0,7 (запись 0,7 читают: «ноль целых семь 10-х»); $frac{12}{100}$ = 0,12 (запись 0,12 читают: «ноль целых двенадцать сотых»); $2frac{973}{1000}$ = 2,973 (запись 2,973 читают: «две целых девятьсот 70 три тысячных»); $frac{43}{10}$ = 4$frac{3}{10}$ = 2,973 (запись 4,3 читают: «четыре целых три 10-х»); $frac{3}{100}$ = 0,03 (запись 0,03 читают: «ноль целых три сотых»); $2frac{508}{10000}$ = 2,0508 (запись 2,0508 читают: «две целых 500 восемь десятитысячных»).
Такую форму записи дробей именуют десятичной. Дроби, записанные в таковой форме, называю десятичными дробями. Числа 0,7; 0,12; 2,973; 4,3; 0,03; 2,0508 − примеры десятичных дробей.
Направьте внимание, что в записи десятичной дроби запятая отделяют целую часть числа от дробной. Считают, что целая часть правильной дроби равна 0.
Запись дробной части десятичной дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи знаменателя соответственной обычной дроби.
Потому, к примеру,
$6frac{3}{1000}$ = 6,003; $frac{17}{1000}$ = 0,017; $3frac{527}{1000}$ = 3,527.
В неких вариантах бывает нужно разглядывать натуральное число как десятичную дробь, у которой дробная часть равна нулю. Условились, к примеру, что 3 = 3,0; 171 = 171,0 и т. д.
Напомним, что в десятичной записи натурального числа единицы младшего разряда в 10 раз меньше единицы примыкающего старшего разряда. Таковым же свойством владеет и запись десятичных дробей. Потому сходу опосля запятой идет разряд 10-х, дальше разряд сотых, потом разряд тысячных и т. д.
При чтении десятичной дроби поначалу именуют ее целую часть, добавляя слово «целых», а потом именуют дробную часть, добавляя заглавие крайнего разряда. К примеру, десятичную дробь 23,70549 читают: «20 три целых 70 тыщ 500 40 девять стотысячных».
§ 31. Сопоставление десятичных дробей
Из 2-ух десятичных дробей броьше та, у которой целая часть больше.
Как ассоциировать дроби с равными целыми частями? В этом случае сначала ассоциируют десятые. К примеру, 11,23 > 11,19, потому что 2 > 1. Если же десятые оказались равными, то ассоциируют сотые. К примеру, 2,84 < 2,86, потому что 4 < 6. В случае равенства сотых ассоциируют тысячные и т. д.
Таковой метод сопоставления десятичных дробей именуют поразрядным.
Напомним, что натуральные числа мы тоже ассоциировали поразрядно.
Заметим, что в приведенных примерах мы сравнили десятичные дроби с равными целыми частями и с схожим количеством цифр опосля запятой.
Как ассоциировать десятичные дроби с равными целыми частями, но с разным количеством цифр опосля запятой? К примеру, какая из дробей больше: 5,4 либо 5,40?
Сравним отрезки длиной 5,4 м и 5,40 м. Имеем:
$5,4 м = 5frac{4}{10}$ м = 5 м 4 дм = 540 см;
$5,40 м = 5frac{40}{100}$ м = 5 м 40 см = 540 см.
Выходит, что 5,4 = 5,40. Рассуждая аналогично, можно показать, что, к примеру, 0,3 = 0,30 = 0,300.
! Эти примеры иллюстрируют последующие характеристики.
Если к десятичной дроби справа приписать хоть какое количество нулей, то получится дробь, равная данной.
Значение дроби, оканчивающиеся нулями, не поменяется, если крайние нули в ее записи откинуть.
Сравним дроби 3,2 и 3,198.
Так как 3,2 = 3,200, а 3,200 > 3,198, то 3,2 > 3,198.
Этот пример иллюстрирует последующее правило.
Чтоб сопоставить две десятичные дроби с равными целыми частями и разным количеством цифр опосля запятой, нужно при помощи приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях, опосля чего же сопоставить приобретенные дроби поразрядно.
Пример. Напишите несколько чисел, каждое из которых больше 2,35, но меньше 2,36.
Решение. Имеем: 2,35 = 2,350; 2,36 = 2,360. Как следует, числами, удовлетворяющими условию, будут , к примеру: 2,351; 2,352; 2,353.
Беря во внимание, что 2,35 = 2,3500 и 2,36 = 2,3600, можем указать и остальные числа, удовлетворяющие условию задачки. К примеру: 2,3501; 2,3576; 2,3598 и т.д.
§ 32. Округление чисел. Прикидки
Пусть ширина земляного участка прямоугольной формы равна 17 м, а длина − 36 м. Тогда его площадь равна 612 м2, либо 6,12 сотки. Но в ежедневной жизни молвят, что площадь этого участка примерно равна 6 соткам.
В таковых вариантах число 6 именуют приближенным значением числа 6,12 и молвят, что число 6,12 округлили до числа 6. Записывают 6,12 = 6 (читают: «6,12 приближенно равно 6»).
Земляной участок длиной 29 м и шириной 24 м имеет площадь, равную 696 м2, либо 6,96 сотки. На практике число 6,96 округлят и произнесут, что площадь участка приближенно равна 7 соткам, другими словами 6,96 ≈ 7.
Почему же число 7, а не 6 считают приближенным значением числа 6,96? Так условились поэтому, что число 7 − наиблежайшее к 6,96 натуральное число (рис. 205). Как следует, при подмене числа 6,96 числом 7 совершается наименьшая ошибка, чем при подмене числа 6,96 числом 6.
Мы привели примеры округления десятичных дробей до единиц.
Как округлить до единиц число 6,5, которое идиентично удалено от чисел 6 и 7? В таком случае условились округлять до большего из 2-ух чисел. Таковым образом, считают, что 6,5 ≈ 7.
Десятичные дроби можно округлять не только лишь до единиц, да и до 10-х, сотых, тысячных и т. д.
К примеру:
0,12 ≈ 1 (округление до 10-х), потому что 0,12 поближе к 0,1, чем к 0,2;
3,85741 ≈ 3,86 (округление до сотых), потому что 3,85741 поближе к 3,86, чем к 3,85;
1,004483 ≈ 1,004 (округление до тысячных), потому что 1,004483 поближе к 1,004, чем к 1,005.
Эти примеры иллюстрируют последующее правило.
Для того чтоб десятичную дробь округлить до единиц, 10-х, сотых и т. д., нужно все последующие за сиим разрядом числа откинуть. Если при всем этом 1-ая из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, 3 либо 4, то крайняя из оставшихся цифр не меняется; если же 1-ая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 либо 9, то крайняя из оставшихся цифр возрастает на единицу.
Пример. Округлите число 16,398 до сотых.
Решение. Имеем: 16,398 ≈ 16,40, при этом 0 в конце дробной части не отбрасывается, потому что он указывает, до какого разряда округлено число.
Округляют не только лишь десятичные дроби, да и натуральные числа. Нереально установить буквально, сколько людей живет в Рф, сколько кубических метров воды в озере Байкал, сколько тонн зерна собрали в прошедшем году в нашей стране. Эту информацию можно отыскать в справочниках. Но приведенные в их данные являются приближенными.
Округление натуральных чисел почти во всем похоже на округление десятичных дробей.
При округлении натуральных чисел до какого−или разряда заместо всех последующих за ним цифр младших разрядов пишут нули. При всем этом если 1-ая из цифр, следовавших за сиим разрядом, была равной 5, 6, 7, 8 либо 9,, то цифра в данном разряде возрастает на единицу.
К примеру:
234 ≈ 230 − округление до 10-ов;
8 763 ≈ 230 − округление до сотен;
984 ≈ 1 000 − округление до тыщ;
965 348 ≈ 970 000 − округление до 10-ов тыщ.
В тех вариантах. когда мы желаем стремительно оценить ситуацию, принять правильное решение могут оказаться полезными познания о округлении чисел.
Разглядим таковой пример.
До пт прибытия кару осталось проехать 283 км. Шофер понимает, что расход бензина составляет 9 л на 100 км пути и размер топливного бака равен 60 л.
Только взглянув на устройство, который указывает уровень горючего в баке 283 л, шофер удостоверился, что бензина хватит. Как ему удалось так стремительно провести расчеты?
Шофер поступили так: округлил расход бензина до 10 л на 100 км пути, оставшееся расстояние − до 300 км, а потом выполнил деяния (300 : 100) * 10. Приобретенный итог 30 л сравнил с показателем, уровня горючего в баке.
Четкий итог можно было получить, обнаружив значение выражения (283 : 100) * 9. Но шофер так созодать не стал. Он прикинул значение этого числового выражения.
Направьте внимание, что шофер округлял все числа в «худшую» сторону − брал больший расход горючего, чем по сути, и большее расстояние, чем необходимо проехать. Если горючего хватит при «ухудшенных» критериях, означает, его хватит и по сути. А вот округлять в сторону «улучшения» небезопасно. Таковая прикидка может подвести водителя.
Подобные прикидки вы сможете созодать, к примеру, определяя, хватит ли средств на покупку, состоящую из целого ряда продуктов. Планируя собственный денек, вы прикидываете время на выполнение определенного вида работ.
Прикидку прибыльно использовать тогда, когда актуальная ситуация дозволяет поменять трудозатратные вычисления ординарными расчетами.
§ 33. Сложение и вычитание десятичных дробей
Вы уже умеете ложить простые дроби с равными знаменателями. Научимся ложить десятичные дроби. Найдем сумму 2,374 + 1,725. Обратив эти дроби в простые, получаем:
$2,374 + 1,725 = 2frac{374}{1000} + 1frac{725}{1000} = 3 + frac{374 + 725}{1000} = 3 + frac{1099}{1000} = 3 + 1frac{99}{1000} = 4frac{99}{1000} = 4,099$
Но ложить десятичные дроби можно еще проще, не обращая их в простые.
Сходство методов записи десятичных дробей и натуральных чисел дозволяет делать сложение десятичных дробей в столбик.
Чтоб сложить две десятичные дроби, нужно:
1) уравнять в слагаемые количество цифр опосля запятой;
2) записать слагаемые друг под другом так, чтоб любой разряд второго слагаемого оказался под подходящим разрядом первого слагаемого;
3) сложить приобретенные числа так, как складывают натуральные числа;
4) поставить в приобретенной сумме запятую под запятыми в слагаемых.
Набросок 14
В столбик можно также вычитать десятичные дроби.
Чтоб из одной десятичной дроби отнять другую, нужно:
1) уравнять в уменьшаемом и вычитаемом количество цифр опосля запятой;
2) записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтоб любой разряд вычитаемого оказался под подходящим разрядом уменьшаемого;
3) произвести вычитание так, как вычитают натуральные числа;
4) поставить в приобретенной разности запятую под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом.
Из приведенных примеров видно, что сложение и вычитание десятичных дробей производилось поразрядно, т.е. так, как мы производили надлежащие деяния с натуральными числами. Это и есть основное преимущество десятичной формы записи дробей.
Характеристики сложения натуральных чисел производятся и для дробных чисел. Напомним эти характеристики.
a + b = b + a − переместительное свойство сложения,
(a + b) + c = a + (b + c) − сочетательное свойство сложения.
Пример 1. Вычислите разность 4 км 36 м − 768 м, записав данные величины в километрах.
Решение. Имеем:
$4 км 36 м — 768 м = 4frac{36}{1000} км — frac{768}{1000} км = 4,036 км — 0,768 км = 3,268 км.$
Ответ: 3,268 км.
Пример 2. Собственная скорость катера равна 30 км/ч, а скорость течения реки − 1,4 км/ч. Найдите скорость катера по течению и его скорость против течения реки.
Решение.
1) 30 + 1,4 = 31,4 (км/ч) − скорость катера по течению.
2) 30 − 1,4 = 28,6 (км/ч) − скорость катера против течения.
Ответ: 31,4 км/ч, 28,6 км/ч.
§ 34. Умножение десятичных дробей
Вы уже понимаете, что a * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. К примеру, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2. Нетрудно додуматься, что эта сумма равна 2, т.е. 0,2 * 10 = 2.
Аналогично можно убедиться, что:
5,2 * 10 = 52;
0,27 * 10 = 2,7;
1,253 * 10 = 12,53;
64,95 * 10 = 649,5.
Вы, наверняка, додумались, что при умножении десятичной дроби на 10 нужно в данной нам дроби перенести запятую на право на одну цифру.
Как помножить десятичную дробь на 100?
Имеем: a * 100 = a * 10 * 10. Тогда:
2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5.
Рассуждая аналогично, получаем, что:
3,2 * 100 = 320;
28,431 * 100 = 2843,1;
0,57964 * 100 = 57,964.
Умножим дробь 7,1212 на число 1 000.
Имеем: 7,1212 * 1 000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2.
Эти примеры иллюстрируют последующее правило.
Чтоб помножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д., нужно в данной нам дроби перенести запятую на право соответственно на 1, 2, 3 и т.д. числа.
Итак, если запятую перенести на право на 1, 2, 3 и т.д. числа, то дробь возрастет соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз.
Как следует, если запятую перенести на лево на 1, 2, 3 и т.д. числа, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз.
Покажем, что десятичная форма записи дробей дает возможность множить их, руководствуясь правилом умножения натуральных чисел.
Найдем, к примеру, произведение 3,4 * 1,23. Увеличим 1-ый множитель в 10 раз, а 2-ой − в 100 раз. Это значит, что мы прирастили произведение в 1 000 раз.
Как следует, произведение натуральных чисел 34 и 123 в 1 000 раз больше искомого произведения.
Имеем: 34 * 123 = 4182. Тогда для получения ответа нужно число 4 182 уменьшить в 1 000 раз. Запишем: 4 182 = 4 182,0. Перенося запятую в числе 4 182,0 на три числа на лево, получим число 4,182, которое в 1 000 раз меньше числа 4 182. Потому 3,4 * 1,23 = 4,182.
Тот же итог можно получить, руководствуясь последующим правилом.
Чтоб перемножить две десятичные дроби, нужно:
1) помножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
2) в приобретенном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит опосля запятых в обоих множителях вкупе.
В тех вариантах, когда произведение содержит меньше цифр, чем требуется отделить запятой, слева перед сиим произведение дописывают нужное количество нулей, а потом переносят запятую на лево на необходимое количество цифр.
К примеру, 2 * 3 = 6, тогда 0,2 * 3 = 0,006; 25 * 33 = 825, тогда 0,025 * 0,33 = 0,00825.
В тех вариантах, когда один из множителей равен 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., комфортно воспользоваться последующим правилом.
Чтоб помножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., нужно в данной нам дроби перенести запятую на лево соответственно на 1, 2, 3 и т.д. числа.
К примеру, 1,58 * 0,1 = 0,158; 324,7 * 0,01 = 3,247.
Характеристики умножения натуральных чисел производятся и для дробных чисел:
ab = ba − переместительное свойство умножения,
(ab)с = a(bс) − сочетательное свойство умножения,
a(b + с) = ab + ac − распределительное свойство умножения относительно сложения.
§ 35. Деление десятичных дробей
Вы понимаете, что поделить натуральное число a на натуральное число b − означает отыскать такое натуральное число c, которое при умножении на b дает число a. Это утверждение остается верным, если хотя бы одно из чисел a, b, c является десятичной дробью.
Разглядим несколько примеров, в каких делителем является натуральное число.
1,2 : 4 = 0,3, потому что 0,3 * 4 = 1,2;
2,5 : 5 = 0,5, потому что 0,5 * 5 = 2,5;
1 : 2 = 0,5, потому что 0,5 * 2 = 1.
Как быть в тех вариантах, когда деление не удается выполнить устно?
К примеру, как поделить 43,52 на 17?
Увеличив делимое 43,52 в 100 раз, получим число 4 352. Тогда значение выражения 4 352 : 17 в 100 раз больше значения выражения 43,52 : 17. Выполнив деление уголком, вы просто установите, что 4 352 : 17 = 256. Тут делимое увеличено в 100 раз. Означает, 43,52 : 17 = 2,56. Заметим, что 2,56 * 17 = 43,52, что подтверждает корректность выполнения деления.
Личное 2,56 можно получит по другому. Будем разделять 4352 на 17 уголком, не обращая внимания на запятую. При всем этом запятую в личном следует поставить конкретно перед тем, как будет применена 1-ая цифра опосля запятой в делимом:
Если делимое меньше делителя, то целая часть личного равна нулю. К примеру:
Разглядим очередной пример. Найдем личное 3,1 : 5. Вы понимаете, что десятичная дробь не поменяется, если к ней справа приписать хоть какое количество нулей. Тогда становится понятным, что числа делимого окончиться не могут. Имеем:
В прошлом параграфе мы узнали, что если запятую перенести на право на 1, 2, 3 и т.д. числа, то дробь возрастет соответственно в 10, 100, 1 000 и т. д. раз, а если запятую перенести на лево на 1, 2, 3 и т. д. числа, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т. д. раз.
Потому в тех вариантах, когда делитель равен 10, 100, 1 000 и т. д., пользуются последующим правилом.
Чтоб поделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т. д., нужно в данной нам дроби перенести запятую на лево на 1, 2, 3 и т. д. числа.
К примеру: 4,23 : 10 = 0,423; 2 : 100 = 0,02; 58,63 : 1 000 = 0,05863.
Итак, мы научились разделять десятичную дробь на натуральное число.
Покажем, как деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число.
Имеем:
$frac{2}{5} км = 400 м$,
$frac{20}{50} км = 400 м$,
$frac{200}{500} км = 400 м$.
Получаем, что
$frac{2}{5} = frac{20}{50} = frac{200}{500}$, т.е. 2 : 5 = 20 : 50 = 200 : 500.
Этот пример иллюстрирует последующее: если делимое и делитель прирастить сразу в 10, 100, 1 000 и т.д. раз, то личное не поменяется.
Найдем личное 43,52 : 1,7.
Увеличим сразу делимое и делитель в 10 раз. Имеем:
43,52 : 1,7 = 435,2 : 17.
Увеличим сразу делимое и делитель в 10 раз. Имеем: 43,52 : 1,7 = 25,6.
Чтоб поделить десятичную дробь на десятичную нужно:
1) перенести в делимом и в делителе запятые на право на столько цифр, сколько их содержится опосля запятой в делителе;
2) выполнить деление на натуральное число.
§ 36. Среднее арифметическое. Среднее значение величины
Средним арифметическим нескольких чисел именуют личное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.
Говоря о значениях каких − то величин, нередко имеют в виду их средние значения. К примеру, когда молвят, что с 1 га поля собрали 38 ц пшеницы, то это не значит, что с всякого гектара поля было собрано конкретно такое количество центнеров пшеницы. Эту величину получили, разделив массу всего урожая, выраженную в центнерах, на площадь всего поля, выраженную в гектарах. Величина 38 ц является средней урожайностью с 1 га данного поля.
Очередной пример. Если кар проехал 120 км за 1,5 ч, то, разделив длину пути на время, получим среднюю скорость движения кара. Она равна 80 км/ч. При всем этом кар мог останавливаться, двигаться со скоростью большей или наименьшей, чем 80 км/ч.
Средний возраст футболиста команды, средняя за один матч результативность футболиста, среднее количество молока, потребляемое одним обитателем Рф в год, и т.п. также являются примерами средних величин.
Чтоб отыскать среднее арифметическое, сложите все величины и разделите итог на их количество.
§ 37. Проценты. Нахождение процентов от числа
На практике люди нередко пользуются сотыми частями величин. К примеру, сотая часть гектара − 1 ар (1 сотка), сотая часть века − 1 год, сотая часть рубля − 1 копейка, сотая часть метра − 1 сантиметр.
Для сотой части величины либо числа выдумали особое заглавие − один процент (от лат. pro centum − «на 100») и обозначение − 1 %.
Чтоб отыскать 1 % величины, нужно ее значение поделить на 100.
К примеру, 1 % от 300 кг равен 3 кг. Вправду, 300 кг : 100 = 3 кг.
Если 1 % составляет
$frac{1}{100}$ величины, то, к примеру, 3 % составляет $frac{3}{100}$ величины.
Так, 3 % от 1 км составляют
$frac{3}{100}$ километра, т.е. 30 м.
Заметим, что 100 % величины составляет
$frac{100}{100}$ величины, т. е. 100 % величины − это вся величина.
К примеру, если молвят, что работа выполнена на 100 %, то выполнена вся работа; если турист прошел 100 % маршрута, то он прошел весь маршрут.
Если мы желаем показать, как поменялась величина, то это можно создать при помощи процентов.
К примеру, если спортивную секцию посещали 12 учащихся, а стали посещать 24, то молвят, что количество членов секции возросло на 100 %. Если во время новогодней акции распродажи мобильный телефон стал стоить вдвое дешевле, то молвят, что его стоимость снизилась на 50 %.
Совершенно, если величина стала вдвое больше, то она возросла на 100 %, а если величина стала вдвое меньше, то она уменьшилась на 50 %.
Хоть какое количество процентов можно записать в виде десятичной дроби либо натурального числа. Для этого необходимо число, стоящее перед знаком %, поделить на 100.
К примеру, 23 % = 0,23; 80 % = 0,80 = 0,8; 300 % = 3.
Также можно выполнить оборотное преобразование, т. е. записать десятичную дробь либо натуральное число в процентах. Для этого необходимо число помножить на 100 и к результату приписать символ %.
К примеру, 1,4 = 140 %; 0,02 = 2 %; 7 = 700 %.
Нередко для того, чтоб иметь наиболее четкое представление о величине, комфортно выразить ее в процентах. Представим, что ты в этом полугодии получил девять пятерок по арифметике − это много либо не достаточно? Ответить на этот вопросец недозволено, ведь непонятно, сколько всего оценок по арифметике ты получил в этом полугодии и какую часть из их составляют пятерки. А вот если сказать, что в этом полугодии из твоих оценок по арифметике 90 % − пятерки, то сходу становится понятным: ты весьма отлично знаешь этот предмет.
Пример 1. Клубника содержит 6 % сахара. Сколько кг сахара содержится в 15 кг клубники?
Решение.
1) 15 : 100 = 0,15 (кг) − составляет 1% массы всей клубники.
2) 0,15 * 6 = 0,9 (кг) − сахара содержится в 15 кг клубники.
Ответ: 0,9 кг.
Решив эту задачку, мы узнали, сколько составляют 6 % от числа 15. Такую задачку именуют задачей на нахождение процентов от числа.
§ 38. Нахождение числа по его процентам
Пример 1. В сливочном мороженом содержится 14 % сахара. Сколько кг мороженого сделали, если при всем этом употребляли 49 кг сахара?
Решение.
1) 49 : 14 = 3,5 (кг) − составляет 1 % всей массы мороженого.
2) 3,5 * 100 = 350 (кг) − сделали мороженого.
Ответ: 350 кг.
В данной нам задачке мы отыскали число 350, зная, что число 49 составляет от искомого числа 14 %. Такую задачку именуют задачей на нахождение числа по его процентам.
Пример 2. За денек рабочий сделал 48 деталей, что составляет 120 % количества деталей, которые он должен создать по плану. Сколько деталей рабочий должен создать по плану?
Решение.
1) 48 : 120 = 0,4 (детали) − составляют 1 % плана.
2) 0,4 * 100 = 40 (деталей) − рабочий должен создать за денек по плану.
Ответ: 40 деталей.
Пример 3. В роще вырастают дубы, клены и березы. Дубы составляют 15 % всех деревьев, улены − 23 %, а берез 248. Сколько всего деревьев вырастает в роще?
Решение.
1) 15 + 23 = 38 (%) − всех деревьев составляют дубы и клены.
2) 100 − 38 = 62 (%) − всех деревьев составляют березы.
3) 248 : 62 = 4 (дерева) − составляют 1 % всех деревьев.
4) 4 * 100 = 400 (деревьев) − вырастает в роще.
Ответ: 400 деревьев.
Источник: